Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
\(\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).\frac{1+\frac{a}{b+c}}{1-\frac{a}{b+c}}.\frac{b^2+c^2-\left(b-c\right)^2}{a+b+c}\)
= \(\left(1+\frac{\left(b+c\right)^2-2bc-a^2}{2bc}\right).\frac{\frac{a+b+c}{b+c}}{\frac{b+c-a}{b+c}}.\frac{\left(b+c\right)^2-2bc-\left(b-c\right)^2}{a+b+c}\)
= \(\left(1+\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)-2bc}{2bc}\right).\frac{a+b+c}{b+c-a}.\frac{\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)-2bc}{a+b+c}\)
= \(\left(1+\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}-1\right).\frac{a+b+c}{b+c-a}.\frac{4bc-2bc}{a+b+c}\)
= \(\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}.\frac{2bc}{b+c-a}\)
= \(\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{b+c-a}\)
= \(b+c+a\)
\(B=\dfrac{b^2+2bc+c^2-a^2}{2bc}\cdot\left(\dfrac{a+b+c}{b+c}:\dfrac{b+c-a}{b+c}\right)\cdot\dfrac{2bc}{a+b+c}\)
\(=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\cdot\dfrac{a+b+c}{b+c-a}\cdot\dfrac{2bc}{a+b+c}=1\)
a) \(A=\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).\frac{1+\frac{a}{b+c}}{1-\frac{a}{b+c}}.\frac{b^2+c^2-\left(b-c\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{\frac{a+b+c}{b+c}}{\frac{b+c-a}{b+c}}.\frac{b^2+c^2-b^2+2bc-c^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{2bc}.\frac{a+b+c}{b+c-a}.\frac{2bc}{a+b+c}\)
\(=a+b+c\)
b) \(B=\frac{\frac{3a}{a+b}}{\frac{2a}{a^2-2ab+b^2}}\)\(=\frac{3a}{a+b}.\frac{\left(a-b\right)^2}{2a}=\frac{3\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)
c) \(C=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}:\frac{\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}\)
\(=\frac{\frac{a^2+b^2}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{ab}}:\frac{\frac{a^4-b^4}{a^2b^2}}{\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.\frac{\left(a+b\right)^2}{a^4-b^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\)